反比例函数进阶

现如今的出题老师已经不满足于考察单一的反比例函数了。他们乐于“合成”一些其它的函数，并要求你研究合成函数的性质。

对勾函数

定义

定义形如\(y=kx+\frac m x(k, m为常数且k, m\neq 0)\)的函数为对勾函数。
最简单的对勾函数是\(y=x+\frac 1 x\)。让我们先研究一下它吧。
图像

掏出几何画板方格纸，并按照“列表—描点—连线”的流程画出对勾函数的图像。

马上就晓得了，原来“对勾函数”的名字是这么来的啊。看！多像啊！

性质

增减性

对勾函数的增减性比较复杂。观察图像，发现它是一个双曲线，应该分两半进行探讨。
以\(x>0\)为例，\(x0时，由基本不等式（均值定理）得：\]

\[x+\frac 1 x\geq 2\sqrt {x\cdot \frac 1 x}=2\]

\[\therefore 当且仅当x=\frac 1 x即x=1时，x+\frac 1 x取得最小值2。\]
</blockquote>超纲方法不能用！！！
怎么用现在已学过的知识证明？
让我们从答案往回推导一下。
要证\(x+\frac 1 x\geq 2\)，即证\(x-2+\frac 1 x\geq 0\)。
诶，这个造型，像不像完全平方公式？
改一改：\((\sqrt x)^2-2\cdot \sqrt x\cdot \sqrt {\frac 1 x}+(\sqrt \frac 1 x)^2\geq 0\)
公式变形：\((\sqrt x-\sqrt \frac 1 x)^2\geq 0\)，这不是理所当然的吗？
我们可以宣布可证了。

注意到：

\[(\sqrt x-\sqrt \frac 1 x)^2\geq 0\]

\[(\sqrt x)^2-2\cdot \sqrt x\cdot \sqrt {\frac 1 x}+(\sqrt \frac 1 x)^2\geq 0\]

\[x-2+\frac 1 x\geq 0\]

\[\therefore x+\frac 1 x\geq 2\]

\[当且仅当\sqrt x=\sqrt\frac 1 x即x=\frac 1 x, x=1时，\]

\[x+\frac 1 x取得最小值2。\]

现在研究\(x0, b-a>0\)。

\[\therefore \frac {(b-a)(ab+1)}{ab}>0\]

\[a-\frac 1 a0\)。
</blockquote>这样规定，是为了更好地反映“增长”这一概念。\(x\)和\(x+h\)至少比\(a\)和\(b\)更好吧。水平距离\(\Delta x\)可以直接用\(h\)表示。
接下来就是我们想要的，把\(x\)、\(x+h\)拉成一样的，即令\(h=0\)。
可是，这样的话，增长率就算不起来了，因为\(h\neq 0\)。
因此，我们想要的其实是这样的一个效果：\(h\)无限趋近于\(0\)，但永远不能等于\(0\)。
什么运算可以做到这种逆天操作呢？高中生要叫起来了。
是极限。
作为初中生，当然不能硬理解，因为透彻地理解极限，是需要学完微积分才行的。那让我们对极限做一个粗糙的定义：

极限就是无限接近但永远无法到达，用符号\(\lim\)表示。

言简意赅！一针见血！
极限的格式是，在极限符号\(\lim\)下方填写未知数趋向的值，然后在右方写出表达式或等式。举一个我们之前写过的例子，就是：

\[\lim_{x\to 0} y=∞\]
这里就是说，当\(x\)无限趋向于\(0\)时，\(y\)就可以视为无穷大。这是一个不严谨的极限式。
现在，我们终于可以表示出一个点处的陡缓程度了，它就是：

\[\lim_{h\to 0}\frac {\frac k {x+h}-\frac k x} {h}\]
稍作化简，有：

\[\lim_{h\to 0}\frac {-k}{x(x+h)}\]
好像也就这样了。\(h\)也没有消掉啊？怎么办？
别忘了， 我们是有逆天卡片（指\(\lim\)）的人。
\(h\to 0\)，就是让我们把\(h\)忽略不计，那原式变为：

\[-\frac {k}{x^2}\]
我们再回顾一下这个式子的意义。它代表反比例函数\(y=\frac k x\)图像在横坐标为\(x\)的点处的切线的斜率，亦即图像在横坐标为\(x\)的点处的陡缓程度。它的判别，与区间增长率保持一致，因为它们都是通过计算斜率得出的。
它有一个令人又兴奋又胆寒的名字。
导数。

到了高中，你就会知道，若计反比例函数为\(f(x)=\frac k x\)，则其导函数为：

\[f'(x)=-\frac {k}{x^2}\]
通俗地讲，导函数是该函数图像上所有点的横坐标及导数一一对应所组成的函数。因此，将任一横坐标代入导函数，便可直接算出该点切线的斜率。
非常的\(Amazing\)啊，反比例函数在\(x=0\)时无意义，因此它在\(x=0\)时没有导数，其导函数图像上也没有横坐标为\(0\)的点。

让我们把反比例函数\(y=\frac k x(k>0)\)的导函数的图像画出来。

从导函数的图像上，我们可以发现一些信息：

• 图像位于\(x\)轴下方且分为\(x0\)两段，启示我们在每一个象限内，反比例函数随\(x\)的增大而减小（导数均小于\(0\)）。
  
• 在每一象限内，都有导函数的绝对值随\(x\)的增大而减小，启示我们在每一个象限内，反比例函数的陡缓程度随\(x\)的增大而减小。
  
• \(|x|\)越大，导函数越趋向于\(0\)，启示我们在每一个象限内，当\(|x|\)很大时，反比例函数图像极为平缓，其切线斜率接近\(0\)。
  

自行探究

反比例函数增长率（导数）随参数\(k\)的变化关系。
题目汇编

只有真正有意思、有意义、有趣味的题目才会被选入。
1. 【真正的！数形结合】

题目来源思考题\(Tag\)标签数形结合  勾股  角平分线  反比例函数修改略有改动字母

如图，在平面直角坐标系\(xOy\)中有矩形\(OABC\)，其中\(A\)、\(B\)在坐标轴上，\(C\)点在第一象限内。反比例函数\(y=\frac k x\)的图像交\(AB\)、\(BC\)于点\(D\)、\(E\)，恰有\(\angle AOD=\angle DOE\)，且\(\angle ODE=90\degree\)。已知\(OA=3\)，求\(k\)的值。

这是一道很巧妙的数形结合题。
你需要考虑一下这个角平分线该如何使用。在初二没有学过三角函数时，坐标系中角的关系必定需要转换为边的关系（特殊角除外）。那就作垂直吧，直接得到\(AD=DF\)。

现在，就是我认为本题中最巧妙的地方了。请看\(VCR\)。

我们竟然通过设元标角，证明了\(\angle BED=\angle OED\)，\(DF=BD\)！本题重要结论\(AD=BD\)就这样推出来了。
由于\(S_{\triangle AOD}=S_{\triangle OCE}=\frac k 2\)，可推导\(CE=\frac {OA} 2\)，实则\(E\)也是\(BC\)中点。
祖传设\(t\)大法启动。设\(D(t, 3)\)，\(E(2t, 1.5)\)。因为\(D\)、\(E\)在反比例函数图像上，\(k\)一定等于\(3t\)。观察图中四个直角三角形，启示我们使用勾股定理。

\[OD^2=3^2+t^2=9+t^2\]

\[DE^2=t^2+1.5^2=2.25+t^2\]

\[OE^2=(2t)^2+1.5^2=2.25+4t^2\]

\[在Rt\triangle ODE中，有OD^2+DE^2=OE^2\]

\[9+t^2+2.25+t^2=2.25+4t^2\]

\[t=\frac {3\sqrt 2}2\]

\[k=3t=\frac {9\sqrt 2}2\]
解得\(k=\frac {9\sqrt 2}2\)。

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