每天一个小算法：最长回文串

题目描述

给定一个字符串，要求这个字符串当中最长的回文串。
示例

1. Input: "babad"
2. Output: "bab"
3. Note: "aba" is also a valid answer.

复制代码

1. Input: "cbbd"
2. Output: "bb"

复制代码

题目分析

这道题目是典型的看着简单，但是实际上并不简单的问题。
我们先从简单的算法开始，最简单的方法当然是暴力。由于我们需要求出最长的回文串，一种方法是求出s串所有的子串，然后一一对比它们是否构成回文。这样当然是可行的，但是我们简单分析一下复杂度就会发现，这并不能接受。对于一个长度为n的字符串来说，我们任意选择其中两个位置，就可以找到它的一个子串，那么我们选择两个位置的数量就是\(C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}\)。对于每一个子串，我们需要遍历一遍才能判断是否回文，所以整体的复杂度是\(O(n^3)\)。
但是如果你对回文串非常熟悉的话，会发现其实这是可以优化的。因为我们要求的是最长的回文串，如果我们确定了对称中心的位置，它能够构成的最长回文串就是确定的。所以我们只需要遍历所有的回文串中心，和每个中心能找到的最长回文串。这样我们的复杂度就降低了一维，变成了\(O(n^2)\)。
回文串有两种形式，一种是奇回文，也就是回文中心是一个字符，比如aba。还有一种是偶回文，回文中心是两个字符之间，比如abba。这两种情况我们需要分开讨论。
我们写出代码：

1. class Solution:
2.     def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
3.         n = len(s)
4.         
5.         ret = ''
6.         for i in range(n):
7.             # 奇回文的情况
8.             l, r = i, i
9.             while s[l] == s[r]:
10.                 l -= 1
11.                 r += 1
12.                 if l < 0 or r >= n:
13.                     break
14.             if r - l - 1 > len(ret):
15.                 ret = s[l+1: r]
16.             
17.             # 偶回文的情况
18.             l, r = i-1, i
19.             while l >= 0 and s[l] == s[r]:
20.                 l -= 1
21.                 r += 1
22.                 if l < 0 or r >= n:
23.                     break
24.             if r - l - 1 > len(ret):
25.                 ret = s[l+1: r]
26.                
27.         return ret

复制代码

到这里还没有结束，接下来我们介绍一个经典的回文串求解算法——Manacher，也叫做马拉车算法。
首先，我们需要统一奇回文和偶回文这两种情况，这也很方便，我们把原串进行处理，在两个相邻字符当中插入一个分隔字符#，比如abcd转化成#a#b#c#d#。一般我们还会在首尾加入防止超界的字符，比如$&等。之后我们维护两个值，分别是id和mr。mr表示当前能够构成的回文串向右延伸最远的位置，id表示这个位置对应的对称中心。根据这个位置id以及mr我们可以快速地求解出当前位置i能够构成的合法回文串的长度。
我们假设每一个位置构成的合法回文串半径是p, 那么对于i这个位置，我们可以得到p >= min(mr - i, p[id * 2 - i])。其中id * 2 - i是i这个位置关于id的对称位置，并且以i为中心对称的回文串小于mr位置的部分也关于id对称。所以如果p[id * 2 - i] < mr - i的话，说明i关于id的对称位置没能突破id对称的限制，既然i的对称点没有能突破限制，那么i显然也不行。同理，如果p[id * 2 - i] > mr - i的话，说明i的对称位置没有被id限制住，但是这恰恰说明i被限制住了。因为如果i也能突破mr这个限制的话，那么说明id的对称范围还能扩大，这和我们的前提假设矛盾了。所以只有p[id * 2 - i] == mr - i的情况，i才有可能继续延伸。
如果能理解上面的关系，整个算法已经很清楚了，如果没看懂也没有关系，可以看下下面的动图，会展示得更加清楚。
理解了上述的算法过程之后剩下的工作就简单了，我们只需要在求解p的同时维护id和mr即可。
最后我们来看下算法的复杂度，为什么这是一个O(n)的算法呢？原因很简单，我们只需要关注mr这个变量即可。mr这个变量是递增的，mr每次递增的大小，其实就是p - (mr - i)的长度。所以虽然看似我们用了两重循环，但是由于mr最多只能递增n次，所以它依然是O(n)的算法。
代码实现

[code]class Solution:        def longestPalindrome(self, s: str) -> str:        # 在所有字符中间插入#        def transform(s):            return '$#' + '#'.join(list(s)) + '#&'                if s == '':            return s        # 初始化        s = transform(s)        p = [0 for _ in range(len(s)+1)]        mr, id_ = 0, 0        # 首尾是特殊字符，所以下标从1到len(s)-2        for i in range(1, len(s)-1):            # 计算p            p = 1 if mr