【计算机组成】原码、反码、补码的使用及其原理

本篇文章讲解了计算机的原码，反码和补码。并且进行了深入探求了为何要使用反码和补码，以及更进一步的论证了为何可以用反码，补码的加法计算原码的减法。论证部分如有不对的地方请各位牛人帮忙指正! 希望本文对大家学习计算机基础有所帮助!
一. 机器数和真值

在学习原码，反码和补码之前，需要先了解机器数和真值的概念.
1、机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式，叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号，正数为0，负数为1。
比如，十进制中的数 +3，计算机字长为8位，转换成二进制就是00000011。如果是 -3，就是 10000011 。
那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。
2、真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131（10000011转换成十进制等于131）。所以，为区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1
二. 原码、反码、补码的基础概念和计算方法

在探求为何机器要使用补码之前，让我们先了解原码、反码和补码的概念。对于一个数，计算机要使用一定的编码方式进行存储。原码、反码、补码是机器存储一个具体数字的编码方式。
码数值1数值-11+(-1)（将数值1和数值-1相加）原码0000 00011000 00011000 0010反码0000 00011111 11101111 1111补码0000 00011111 11110000 0000移码1000 00010111 11111000 00001. 原码

原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值。比如如果是8位二进制：

\([+1]_原 = 0000 0001\)
\([-1]_原 = 1000 0001\)

第一位是符号位。因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围就是：

[1111 1111 ，0111 1111]

即

[-127 ，127]

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。
2. 反码

反码的表示方法是：

• 正数的反码是其本身
  
• 负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。
  

\([+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反\)
\([-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反\)

可见如果一个反码表示的是负数，人脑无法直观的看出来它的数值，通常要将其转换成原码再计算。
3. 补码

补码的表示方法是：

• 正数的补码就是其本身
  
• 负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。 (即 在反码的基础上+1)
  

\([+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补\)
\([-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补\)

对于负数，补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的。通常也需要转换成原码在计算其数值。
三. 为何要使用原码，反码和补码

在开始深入学习前，我的学习建议是先"死记硬背"上面的原码，反码和补码的表示方式以及计算方法。
现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数。对于正数因为三种编码方式的结果都相同：

\([+1] = [00000001]_原 = [00000001]_反 = [00000001]_补\)

所以不需要过多解释。但是对于负数：

\([-1] = [10000001]_原 = [11111110]_反 = [11111111]_补\)

可见原码，反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式，为何还会有反码和补码呢?
首先，因为人脑可以知道第一位是符号位，在计算的时候我们会根据符号位，选择对真值区域的加减. (真值的概念在本文最开头). 但是对于计算机，加减乘数已经是最基础的运算，要设计的尽量简单. 计算机辨别"符号位"显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法. 我们知道，根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数，即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 ，所以机器可以只有加法而没有减法，这样计算机运算的设计就更简单了.
于是人们开始探索 将符号位参与运算，并且只保留加法的方法. 首先来看原码:
计算十进制的表达式: 1-1=0

\(1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]_原 + [10000001]_原 = [10000010]_原 = -2\)

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.
为了解决原码做减法的问题，出现了反码:
计算十进制的表达式: 1-1=0

\(1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_反 + [1111 1110]_反 = [1111 1111]_反 = [1000 0000]_原 = -0\)

发现用反码计算减法，结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在"0"这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的，但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有[0000 0000]_原和[1000 0000]_原两个编码表示0.
于是补码的出现，解决了0的符号以及两个编码的问题:

\(1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0001]_补 + [1111 1111]_补 = [0000 0000]_补 =[0000 0000]_原\)

这样0用[0000 0000]表示，而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用[1000 0000]表示-128:

\((-1) + (-127) = [1000 0001]_原 + [1111 1111]_原 = [1111 1111]_补 + [1000 0001]_补 = [1000 0000]_补\)

-1-127的结果应该是-128，在用补码运算的结果中，\([1000 0000]_补\) 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128，所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示[1000 0000]补算出来的原码是\([0000 0000]_原\) ，这是不正确的)
使用补码，不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题，而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制，使用原码或反码表示的范围为\([-127，+127]\)，而使用补码表示的范围为\([-128，127]\)。
因为机器使用补码，所以对于编程中常用到的32位int类型，可以表示范围是: \([-2^{31}，2^{31}-1]\) 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.
总结：

• 原码：数值的原二进制数值
  
• 反码：解决了减法转化为加法的问题。

  遗留问题：存在正负两种0数值
  

  
  
  • +0：\([0000 0000]_反\)
    
  • -0：\([1000 0000]_反\)
    

  
  
• 补码：解决了+0和-0的问题

  
  

  
  
  • \([0000 0000]_补\)：0
    
  • \([1000 0000]_补\)：-128
    

  
  

四 原码，反码，补码 再深入

计算机巧妙地把符号位参与运算，并且将减法变成了加法，背后蕴含了怎样的数学原理呢?
将钟表想象成是一个1位的12进制数。如果当前时间是6点，我希望将时间设置成4点，需要怎么做呢？我们可以：

• 往回拨2个小时：\(6 - 2 = 4\)
  
• 往前拨10个小时：\((6 + 10) \pmod {12} = 4\)
  
• 往前拨10+12=22个小时：\((6+22) \pmod {12} =4\)
  

2,3方法中的mod是指取模操作，\(16 \pmod {12} = 4\)，即 用16除以12后的余数是4。
所以钟表往回拨(减法)的结果可以用往前拨(加法)替代！
现在的焦点就落在了如何用一个正数，来替代一个负数。上面的例子我们能感觉出来一些端倪，发现一些规律。但是数学是严谨的，不能靠感觉。
首先介绍一个数学中相关的概念：同余
同余的概念

两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余
记作 \(a ≡ b \pmod m\)
读作 a 与 b 关于模 m 同余。
举例说明:

\(4 \pmod {12} = 4\)
\(16 \pmod {12} = 4\)
\(28 \pmod {12} = 4\)

所以4，16，28关于模 12 同余.
负数取模

正数进行mod运算是很简单的. 但是负数呢?
下面是关于mod运算的数学定义:

⌊ x / y ⌋为取下界符号，取底

\[x \pmod y = x - y ⌊ x / y ⌋\]

上面公式的意思是:
x mod y等于 x 减去 y 乘上 x与y的商的下界.
以 -3 mod 2 举例:

-3 mod 2
= -3 - 2 x ⌊-3/2⌋
= -3 - 2 x ⌊-1.5⌋
= -3 - 2 x (-2)
= -3 + 4 = 1

所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10
(-4) mod 12 = 12-4 = 8
(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

开始证明

再回到时钟的问题上:

回拨2小时 = 前拨10小时
回拨4小时 = 前拨8小时
回拨5小时= 前拨7小时

注意，这里发现的规律!
结合上面学到的同余的概念.实际上:

\((-2) \pmod {12} = 10\)
\(10 \pmod {12} = 10\)

-2与10是同余的.

\((-4) \pmod {12} = 8\)
\(8 \pmod {12} = 8\)

-4与8是同余的.
距离成功越来越近了. 要实现用正数替代负数，只需要运用同余数的两个定理:
反身性:

\(a ≡ a \pmod m\)

这个定理是很显而易见的.
线性运算定理:

如果\(a ≡ b \pmod m\)，\(c ≡ d \pmod m\) 那么:
(1)\(a ± c ≡ b ± d \pmod m\)
(2)\(a * c ≡ b * d \pmod m\)

如果想看这个定理的证明，请看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm
所以:

\(7 ≡ 7 \pmod {12}\)
\((-2) ≡ 10 \pmod {12}\)
\(7 -2 ≡ 7 + 10 \pmod {12}\)

现在我们为一个负数，找到了它的正数同余数. 但是并不是7-2 = 7+10，而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) ，即计算结果的余数相等.
接下来回到二进制的问题上，看一下: 2-1=1的问题.

\(2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001] _原 = [0000 0010]_反 + [1111 1110]_反\)

先到这一步，-1的反码表示是1111 1110. 如果这里将[1111 1110]认为是原码，则[1111 1110]原 = -126，这里将符号位除去，即认为是126.
发现有如下规律:

\((-1) \pmod {127} = 126\)
\(126 \pmod {127} = 126\)

即:

\((-1) ≡ 126 \pmod {127}\)
\(2-1 ≡ 2+126 \pmod {127}\)

2-1 与 2+126的余数结果是相同的! 而这个余数，正式我们的期望的计算结果: 2-1=1
所以说一个数的反码，实际上是这个数对于一个模的同余数. 而这个模并不是我们的二进制，而是所能表示的最大值! 这就和钟表一样，转了一圈后总能找到在可表示范围内的一个正确的数值!
而2+126很显然相当于钟表转过了一轮，而因为符号位是参与计算的，正好和溢出的最高位形成正确的运算结果.
既然反码可以将减法变成加法，那么现在计算机使用的补码呢? 为什么在反码的基础上加1，还能得到正确的结果?

\(2-1=2+(-1) = [0000 0010]_原 + [1000 0001]_原 = [0000 0010]_补 + [1111 1111]_补\)

如果把[1111 1111]当成原码，去除符号位，则：

\([0111 1111]_原 = 127\)

其实，在反码的基础上+1，只是相当于增加了模的值：

\((-1) \pmod {128} = 127\)
\(127 \pmod {128} = 127\)
\(2-1 ≡ 2+127 \pmod {128}\)

此时，表盘相当于每128个刻度转一轮. 所以用补码表示的运算结果最小值和最大值应该是[-128，128].
但是由于0的特殊情况，没有办法表示128，所以补码的取值范围是[-128，127]
目的：统一计算方式，简化计算机线路复杂度。
原因：借鉴数论中同余理论，设计，用补码不用反码，计算过程没有区别，但是可以多表示一个数。

本文参考：https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html

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