核函数：让支持向量机从“青铜”变“王者”

在机器学习领域，支持向量机（SVM）是一种强大的分类算法，而核函数则是其核心组件之一。
核函数的本质是一个「空间映射工具」。
当原始数据在低维空间中线性不可分时（如环形、月牙形数据），核函数能将数据隐式地映射到更高维的特征空间，使得在高维空间中数据变得线性可分，同时避免直接计算高维特征的爆炸性计算量（即"核技巧"）。
本文将介绍核函数的作用、常用类型，并通过 scikit-learn 的实际案例展示其效果。
1. 核心作用

在许多实际场景中，数据往往不是线性可分的，直接应用线性分类器效果不佳。
核函数通过巧妙的数学变换，将数据映射到一个更高维度的空间，在这个空间中，原本线性不可分的数据可能变得线性可分。
这样，SVM 就可以在这个高维空间中找到一个最优的超平面来进行分类。
核函数的核心优势在于它避免了显式地计算高维空间中的坐标，而是通过核技巧直接计算映射后的内积。
这种方法不仅提高了计算效率，还减少了内存消耗，使得 SVM 能够高效地处理大规模数据集。
总的来说，核函数主要为了解决下面几个核心问题：

• 避免直接计算高维空间中的内积（维度爆炸问题，核技巧通过数学变换简化计算）
  
• 为非线性数据提供高效的分类解决方案
  
• 通过不同核函数的选择，适应多样化的数据分布特征
  

2. 常用核函数

一般我们在训练SVM模型时，常用的核函数主要有4种：
2.1. 线性核函数

线性核函数（Linear Kernel）是最简单的核函数，其公式为：$ K(x,y)=x^Ty $。
它适用于线性可分的数据集。
如果数据在原始空间中已经可以通过一个线性超平面进行分类，那么线性核函数是一个高效且简单的选择。
2.2. 多项式核函数

多项式核函数（Linear Kernel）的公式为：\(K(x,y)=(x^Ty+c)^d\) 。
其中， $ c $是一个常数项， $ d $是多项式的度数。
多项式核函数可以通过调整 $ d $ 和 $ c $ 的值来增加模型的复杂度，从而更好地拟合非线性数据。
它适用于数据具有多项式关系的场景。
2.3. 径向基核函数（RBF）

RBF 核函数（Radial Basis Function）是SVM中最常用的核函数之一，其公式为：\(K(x,y)=exp(-\frac{||x-y||^2}{2\sigma^2})\) 。
其中， $ \sigma $是控制高斯分布宽度的参数。
RBF 核函数能够将数据映射到无穷维空间，具有很强的灵活性，适用于大多数非线性问题。
它对数据的局部变化非常敏感，能够很好地捕捉数据的复杂结构。
2.4. sigmoid 核函数

Sigmoid 核函数的公式为：$ K(x,y)=\tanh(ax^Ty+b) $。
其中， $ a $ 和$ b $ 是参数。
Sigmoid 核函数类似于神经网络中的激活函数，它在某些特定的非线性问题中表现良好，但使用时需要谨慎调整参数，以避免过拟合或欠拟合。
3. 核函数实践

为了展示核函数的作用，我们使用scikit-learn库构造一个测试数据集，并比较不同核函数的效果。
首先，使用make_moons函数生成一个非线性可分的数据集。
这个数据集包含两个半月形的类别，用线性分类器很难进行区分。

1. import matplotlib.pyplot as plt
2. from sklearn.datasets import make_moons
4. # 生成非线性可分的数据集
5. X, y = make_moons(n_samples=200, noise=0.1, random_state=42)
7. # 绘制数据集
8. plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, cmap='viridis')
9. plt.title("非线性可分数据集")
10. plt.show()

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接下来，我们使用scikit-learn的SVC（支持向量分类器）分别应用线性核函数、多项式核函数、RBF 核函数和 Sigmoid 核函数，并比较它们的效果。

1. from sklearn.svm import SVC
2. from sklearn.model_selection import train_test_split
3. from sklearn.metrics import accuracy_score
5. # 划分训练集和测试集
6. X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=42)
8. # 线性核函数
9. svm_linear = SVC(kernel='linear')
10. svm_linear.fit(X_train, y_train)
11. y_pred_linear = svm_linear.predict(X_test)
12. print("线性核函数的准确率：", accuracy_score(y_test, y_pred_linear))
14. # 多项式核函数
15. svm_poly = SVC(kernel='poly', degree=3)
16. svm_poly.fit(X_train, y_train)
17. y_pred_poly = svm_poly.predict(X_test)
18. print("多项式核函数的准确率：", accuracy_score(y_test, y_pred_poly))
20. # RBF 核函数
21. svm_rbf = SVC(kernel='rbf', gamma='scale')
22. svm_rbf.fit(X_train, y_train)
23. y_pred_rbf = svm_rbf.predict(X_test)
24. print("RBF 核函数的准确率：", accuracy_score(y_test, y_pred_rbf))
26. # Sigmoid 核函数
27. svm_sigmoid = SVC(kernel='sigmoid')
28. svm_sigmoid.fit(X_train, y_train)
29. y_pred_sigmoid = svm_sigmoid.predict(X_test)
30. print("Sigmoid 核函数的准确率：", accuracy_score(y_test, y_pred_sigmoid))

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运行结果：

1. 线性核函数的准确率： 0.8833333333333333
2. 多项式核函数的准确率： 0.95
3. RBF 核函数的准确率： 0.9833333333333333
4. Sigmoid 核函数的准确率： 0.6666666666666666

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从结果来看，线性核函数在这种非线性数据集上的表现一般，而 RBF 核函数和多项式核函数取得了较好的效果，
Sigmoid 核函数表现最差，它仅在特定场景（如模拟神经网络）可能有用，其他场景下效果普遍较差。
为了更加直观，我们可以把四种核函数的分类结果绘制出来：

1. plt.figure(figsize=(20, 10))
2. models = [svm_linear, svm_poly, svm_rbf, svm_sigmoid]
3. for i, model in enumerate(models, 1):
4.     plt.subplot(2, 2, i)
6.     h = 0.02  # 网格间隔
7.     x_min, x_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
8.     y_min, y_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
9.     xx, yy = np.meshgrid(np.arange(x_min, x_max, h), np.arange(y_min, y_max, h))
10.     Z = model.predict(np.c_[xx.ravel(), yy.ravel()])
11.     Z = Z.reshape(xx.shape)
13.     plt.contourf(xx, yy, Z, alpha=0.8, cmap="viridis")
14.     plt.scatter(X[:, 0], X[:, 1], c=y, edgecolors="k", cmap="viridis")
16. plt.tight_layout()
17. plt.show()

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4. 总结

核函数是支持向量机中不可或缺的组成部分，它通过将数据映射到高维空间，解决了线性不可分问题，使 SVM 能够处理复杂的非线性分类任务。
在实际应用中，选择合适的核函数至关重要。
线性核函数适用于线性可分数据，多项式核函数和 RBF 核函数则更适合处理非线性问题。
通过基于scikit-learn的实验，我们直观地看到了核函数在不同数据集上的效果差异。
在实际项目中，建议根据数据的特点和需求选择合适的核函数，并通过交叉验证等方法调整参数，以达到最佳的分类效果。

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