三维装箱问题（3D Bin Packing Problem, 3D-BPP）

谯梨夏 · 前天 22:21

提出问题

集装箱海运家具, 沙发, 茶几, 椅子等等, 有多少套家具，以及每个家具的长宽高都会告诉你.
把所有的家具都装进集装箱里, 要求通过算法算出一共需要多少集装箱.

1.要考虑怎样装, 需要的集装箱才最少, 因为一个集装箱很贵的.
2.要考虑怎样摆放, 占用的体积最小, 找最优解. 比如, 茶几和沙发摞在一起, 旁边还有空余的位置, 那是否还可以再塞个椅子进去。

你会怎样设计算法？
分解问题

这是一个典型的三维装箱问题（3D Bin Packing Problem, 3D-BPP），它是NP-hard问题，意味着没有已知的算法能在多项式时间内找到绝对最优解。因此，我们通常使用启发式算法（Heuristics）或近似算法来寻找一个足够好的解，即尽量少用集装箱。
以下是一个使用C#设计启发式算法的思路和代码框架：
核心思路:

容器选择: 通常海运有标准集装箱尺寸，如20GP, 40GP, 40HC。我们需要确定使用哪种尺寸的集装箱，或者允许算法选择混合使用（这会更复杂）。为简化，我们先假设使用同一种标准尺寸的集装箱，例如40HC（内尺寸约为：长12.03m, 宽2.35m, 高2.69m）。注意：单位要统一！ 比如都用毫米（mm）或厘米（cm）。
物品表示: 每个家具是一个三维长方体，有长、宽、高。
旋转: 家具可以旋转摆放以更好地利用空间。一个长方体有最多6种基本朝向（不考虑绕垂直轴的90度旋转，因为那可以通过交换长宽实现）。
放置策略: 这是算法的关键。需要决定：
- 物品顺序: 先放大件还是小件？通常先放大件（如按体积或最长边排序）效果较好（First Fit Decreasing - FFD 变种）。
- 放置位置: 在容器的哪个位置放置物品？常用的策略是在可选空间中寻找“最合适”的位置，例如“最低-最左-最靠里”的角落。
- 空间管理: 如何记录和管理容器内的剩余空间？这可以很复杂。常见方法有：
  - 层叠法（Layer-based）： 一层一层地填充。
  - 最大空间法（Maximal Spaces）： 维护一个剩余空间块的列表。
  - 三维坐标/体素法: 将容器空间离散化（计算量可能很大）。
  - 简单坐标点法: 维护一组可以放置物品的“锚点”（通常是已放置物品的角点或容器的角点）。
算法流程 (启发式 - 基于 FFD 和锚点/最低位置策略):
- 初始化:
  - 获取所有家具列表及其尺寸。
  - 定义集装箱内部尺寸。
  - 对家具列表进行排序（例如，按体积降序）。
  - 创建一个空的集装箱列表。
- 主循环: 遍历排序后的家具列表：
  - 对于当前家具 item:
    - 尝试放入现有集装箱: 遍历当前已打开的集装箱列表 containers。
      - 对于每个集装箱 container:
        
        尝试找到一个有效位置放置 item（考虑所有6种旋转）。
        
        寻找位置 (启发式):
        
        维护一个该容器内可放置物品的“锚点”列表 anchorPoints（初始为 (0,0,0)）。
        
        按一定顺序（如 Z坐标升序, Y升序, X升序）遍历 anchorPoints。
        
        对每个锚点 p，尝试 item 的所有6种旋转 r。
        
        检查 item 以旋转 r 放置在 p 时：
        
        是否完全在集装箱边界内？
        
        是否与该集装箱内已放置的任何其他物品 placedItem 发生碰撞？
        
        如果找到第一个有效的位置 (p, r)：
        
        将 item 放置在 container 的 p 点，使用旋转 r。记录其位置和尺寸。
        
        更新 container 的 anchorPoints：移除 p，并根据新放置的 item 添加新的潜在锚点（例如，新物品的右上角、前上角、右前角等）。需要仔细处理，避免重复和无效点。
        
        标记 item 已放置，跳出当前集装箱的尝试，处理下一个家具。
    - 如果现有集装箱都放不下:
      - 创建一个新的集装箱 newContainer。
      - 将 item 放入 newContainer（通常放在 (0,0,0) 位置，选择一个合适的旋转）。必须检查: 如果物品本身就比集装箱大，则无法放置，需要报错。
      - 记录放置信息，初始化 newContainer 的锚点列表。
      - 将 newContainer 添加到 containers 列表中。
- 结束: 所有家具处理完毕后，containers 列表的大小就是所需的集装箱数量。

C# 代码框架:
[code]using System;using System.Collections.Generic;using System.Linq;// 3D Point/Vector Structurepublic struct Point3D{ public decimal X, Y, Z; public Point3D(decimal x, decimal y, decimal z) { X = x; Y = y; Z = z; } public override string ToString() => $"({X}, {Y}, {Z})";}// Dimensions Structurepublic struct Dimensions{ public decimal Length, Width, Height; // L, W, H correspond to X, Y, Z axes when placed public decimal Volume => Length * Width * Height; public Dimensions(decimal l, decimal w, decimal h) { Length = l; Width = w; Height = h; } public override string ToString() => $"[{Length}x{Width}x{Height}]"; // Get dimensions for different rotations public Dimensions GetRotation(int rotationType) { switch (rotationType) { case 0: return new Dimensions(Length, Width, Height); // LWH (XYZ) case 1: return new Dimensions(Length, Height, Width); // LHW (XZY) case 2: return new Dimensions(Width, Length, Height); // WLH (YXZ) case 3: return new Dimensions(Width, Height, Length); // WHL (YZX) case 4: return new Dimensions(Height, Length, Width); // HLW (ZXY) case 5: return new Dimensions(Height, Width, Length); // HWL (ZYX) default: throw new ArgumentOutOfRangeException(nameof(rotationType)); } }}// Represents a furniture itempublic class Item{ public string Name { get; } public Dimensions OriginalDimensions { get; } public decimal Volume => OriginalDimensions.Volume; // Potentially add weight, fragility, stacking constraints later public Item(string name, decimal length, decimal width, decimal height) { Name = name; // Ensure non-negative dimensions OriginalDimensions = new Dimensions( Math.Max(0, length), Math.Max(0, width), Math.Max(0, height) ); } public override string ToString() => $"{Name} {OriginalDimensions}";}// Represents an item placed inside a containerpublic class PlacedItem{ public Item SourceItem { get; } public Point3D Position { get; } // Bottom-Back-Left corner of the item in container coordinates public Dimensions PlacedDimensions { get; } // Dimensions after rotation // Bounding Box for collision detection public Point3D MinCorner => Position; public Point3D MaxCorner => new Point3D(Position.X + PlacedDimensions.Length, Position.Y + PlacedDimensions.Width, Position.Z + PlacedDimensions.Height); public PlacedItem(Item sourceItem, Point3D position, Dimensions placedDimensions) { SourceItem = sourceItem; Position = position; PlacedDimensions = placedDimensions; } // AABB Collision Check public bool Intersects(PlacedItem other) { return (this.MinCorner.X < other.MaxCorner.X && this.MaxCorner.X > other.MinCorner.X) && (this.MinCorner.Y < other.MaxCorner.Y && this.MaxCorner.Y > other.MinCorner.Y) && (this.MinCorner.Z < other.MaxCorner.Z && this.MaxCorner.Z > other.MinCorner.Z); } // Check if this item intersects with a potential placement public bool Intersects(Point3D potentialPos, Dimensions potentialDims) { Point3D potMin = potentialPos; Point3D potMax = new Point3D(potentialPos.X + potentialDims.Length, potentialPos.Y + potentialDims.Width, potentialPos.Z + potentialDims.Height); return (this.MinCorner.X < potMax.X && this.MaxCorner.X > potMin.X) && (this.MinCorner.Y < potMax.Y && this.MaxCorner.Y > potMin.Y) && (this.MinCorner.Z < potMax.Z && this.MaxCorner.Z > potMin.Z); }}// Represents a single containerpublic class Container{ public int Id { get; } public Dimensions Dimensions { get; } public List PlacedItems { get; } public List AnchorPoints { get; private set; } // Potential placement corners // Keep track of occupied volume/space for heuristics? (Optional) public Container(int id, decimal length, decimal width, decimal height) { Id = id; Dimensions = new Dimensions(length, width, height); PlacedItems = new List(); // Start with the main corner as the only anchor point AnchorPoints = new List { new Point3D(0, 0, 0) }; } // Tries to find a position and rotation to place the item public bool TryPlaceItem(Item item, out PlacedItem placement) { placement = null; // Sort anchor points: typically Z, Y, X ascending to fill bottom-up, left-right, back-front var sortedAnchors = AnchorPoints.OrderBy(p => p.Z).ThenBy(p => p.Y).ThenBy(p => p.X).ToList(); foreach (Point3D anchor in sortedAnchors) { for (int rotationType = 0; rotationType < 6; rotationType++) { Dimensions rotatedDims = item.OriginalDimensions.GetRotation(rotationType); // Check if item fits within container boundaries at this anchor if (anchor.X + rotatedDims.Length 0 requires something below?) // For simplicity now, just add if inside bounds and not duplicate. AnchorPoints.Add(newAnchor); } } } // Optional: Refine anchor points - remove points that are now inside the newly placed item // AnchorPoints.RemoveAll(p => IsInside(p, placement)); // Need IsInside check // Optional: Sort anchors again if needed for the next TryPlaceItem call // AnchorPoints = AnchorPoints.OrderBy(p => p.Z).ThenBy(p => p.Y).ThenBy(p => p.X).ToList(); } // Helper to check if a point is strictly inside a placed item's volume private bool IsInside(Point3D point, PlacedItem item) { return point.X > item.MinCorner.X && point.X < item.MaxCorner.X && point.Y > item.MinCorner.Y && point.Y < item.MaxCorner.Y && point.Z > item.MinCorner.Z && point.Z < item.MaxCorner.Z; }}// The main packer classpublic class Packer{ public Dimensions ContainerDimensions { get; } public Packer(decimal containerLength, decimal containerWidth, decimal containerHeight) { ContainerDimensions = new Dimensions(containerLength, containerWidth, containerHeight); } public List PackItems(List itemsToPack) { // 1. Sort items (e.g., by volume descending) - FFD heuristic var sortedItems = itemsToPack.OrderByDescending(item => item.Volume).ToList(); List containers = new List(); int containerIdCounter = 1; HashSet packedItems = new HashSet(); // Keep track of packed items foreach (var item in sortedItems) { if (packedItems.Contains(item)) continue; // Should not happen with list processing, but safe check bool placed = false; // 2. Try placing in existing containers foreach (var container in containers) { if (container.TryPlaceItem(item, out PlacedItem placement)) { container.PlaceItem(placement); Console.WriteLine($"

laced {item.Name} in Container {container.Id} at {placement.Position} with rotation {placement.PlacedDimensions}"); placed = true; packedItems.Add(item); break; // Move to the next item (First Fit) } } // 3. If not placed, open a new container if (!placed) { // Check if the item can fit in an empty container at all (any rotation) bool fitsAnyhow = false; PlacedItem initialPlacement = null; for(int r=0; r

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