《Fundamentals Of Computer Graphics》第二章 杂项数学 总结

开篇

  第二章“Miscellaneous Math”讲了许多高中、大学所学的一些基础数学知识：集合、映射、区间、三角函数、积分、密度函数等等。不过我觉得还是有一些要注意的地方。
立体角与球面三角学（Solid Angles and Spherical Trigonometry）

  传统的三角学涉及的是平面上的三角形，三角形其实也能定义在非平面表面。这种三角学在许多领域例如天文学出现，研究这些三角形的领域叫球面三角学。它虽然不会经常在图形学中被使用，但是出现的时候一般都非常重要。
  在球面三角学中对计算机图形学非常重要的一个概念叫做立体角（Solid Angle），立体角让我们可以量化例如在天上的飞机占据视野的多少。整个测量过程其实很简单，把能“看到”飞机的所有方向投影到单位球，接着测量面积。测量出的面积大小就是立体角的大小，不过立体角的单位是Sr（Steradian），在单位球上的总立体角就是\(4\pi\,\mathrm{sr}\)。
  我还稍微查了下资料，wiki百科上还给出了立体角积分公式，这里可以稍微了解一下，能让你对立体角有更好的理解。首先通过\(\Delta \theta\)和\(\Delta \varphi\)分割半径为\(r\)的球面，如图所示。

作者：Travailen
当\(\Delta \theta\)和\(\Delta \varphi\)在极小情况下，这个时候分割出来的每一极小份的曲面可以被当作一个矩形。因此这个时候的极小份的面积为

\[dA = (r\,\sin\theta\,d\varphi)(rd\theta) = r^2(\sin\theta\,d\theta\,d\varphi)\]
当\(r=1\)时，极小立体角的大小就是极小面积的大小

\[d\Omega = \sin\theta\,d\theta\,d\varphi\]
因此立体角的积分公式为

\[\Omega = \int \int_{S} \sin\theta\,d\theta\,d\varphi \]
单位正交基的确定

  有时候需要为给定的向量求一个标准正交基，比如在写全屏光线追踪着色器，这个时候要为每个像素发出光线，此时就需要一个标准正交基。对于给定的向量\(\mathbf{a}\)，我们需要标准正交基\(\mathbf{u}\)、\(\mathbf{v}\)、\(\mathbf{w}\)。其中\(\mathbf{w}\)与\(\mathbf{a}\)方向一致，\(\mathbf{u}\)、\(\mathbf{v}\)一般不关心是什么。书中还是给了两种方法
从一个辅助向量构造（Constructing a Basis from a Single Vector）

  这个方法实际上就是挑选一个不与\(\mathbf{w}\)共线的一个辅助向量\(\mathbf{t}\)，值得注意的是辅助向量\(\mathbf{t}\)不可与\(\mathbf{w}\)过于接近，\(\mathbf{u}\)、\(\mathbf{v}\)、\(\mathbf{w}\)可以如下计算

\[\mathbf{w}=\frac{\mathbf{a}}{||\mathbf{a}||} \]

\[\mathbf{u}=\frac{\mathbf{t} \times \mathbf{w}}{||\mathbf{t} \times \mathbf{w}||}\]

\[\mathbf{v}=\mathbf{w} \times \mathbf{u}\]
从两个辅助向量构造（Constructing a Basis from Two Vectors）

  使用这个方法需要最好挑选两个垂直的向量\(\mathbf{a}\)、\(\mathbf{b}\)，要注意的是向量\(\mathbf{a}\)、\(\mathbf{b}\)不可过于接近，这个时候可以求出\(\mathbf{u}\)、\(\mathbf{v}\)、\(\mathbf{w}\)

\[\mathbf{w}=\frac{\mathbf{a}}{||\mathbf{a}||}\]

\[\mathbf{u}=\frac{\mathbf{b} \times \mathbf{w}}{||\mathbf{b} \times \mathbf{w}||}\]

\[\mathbf{v}=\mathbf{w} \times \mathbf{u}\]
由重心坐标得到三角形上的点的证明

  对于在三角形上的给定一点\(\mathrm{P}\)，可以得到\(\vec{P} = \alpha \vec{A}+\beta\vec{B}+\gamma\vec{C}\)，其中\(\alpha+\beta+\gamma=1\)。书上的证明实在是太复杂了，我想了想其实有更好的几何证明方法。
在三角形\(\mathrm{ABC}\)上做\(\mathrm{DE}\)平行于\(\mathrm{AC}\)，接着在线段\(\mathrm{DE}\)上取一点\(\mathrm{P}\)，如下图所示。

如图所示，现在可由两个系数\(k\)与\(t\)确定三角形\(\mathrm{ABC}\)上一点

\[\vec{P} = \vec{B}+(1-t)(1-k)(\vec{A}-\vec{B})+t(1-k)(\vec{C}-\vec{B})\]
化简可得

\[\vec{P}=(1-t-k+tk)\vec{A}+k\vec{B}+(t-tk)\vec{C}=\alpha\vec{A}+\beta\vec{B}+\gamma\vec{C}\]
易得

\[\alpha=1-t-k+tk\]

\[\beta=k\]

\[\gamma=t-tk\]
因此可证得\(\alpha+\beta+\gamma=1\)
蒙特卡洛积分（Monte Carlo Integration）

  蒙特卡洛积分实际上就是通过随机样本来对函数的某区域进行积分
现要求沿表面法线方向的半球的入射光线所贡献的辐照度

\[H(\mathbf{n})=\int_{\Omega} L_f(\omega_i) \, (\mathbf{n} \cdot \omega_i) \, d\omega_i\]
可以通过数量为\(\mathrm{N}\)的随机采样点来获得辐亮度的积分值，因此每个采样点的权重是\(\frac{2\pi}{\mathrm{N}}\)，由此可写如下代码

1. const float3 dir = octDecode(coor.x, coor.y);
3. float3 result = float3(0.0, 0.0, 0.0);
5. [unroll]
6. for (uint i = 0; i < SAMPLECOUNT; i++)
7. {
8.     const float3 randDir = randomDirection[i] * sign(dot(dir, randomDirection[i]));
10.     const float3 radiance = envCube.SampleLevel(linearClampSampler, randDir, 0.0).rgb;
12.     result += radiance * saturate(dot(dir, randDir));
13. }
14.         
15. result = 2.0 * PI / float(SAMPLECOUNT) * result;

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重要性采样（Importance Sampling）

  当被积函数在积分区域内的值有很大的变化时，我们可以把采样点集中分布在一些区域，不过这个时候每个采样点都有特定的非均匀权重。如果我们知道概率密度函数\(\mathrm{PDF}\)就能求出积分值，代码如下

1. const float3 dir = octDecode(coor.x, coor.y);
3. float3 result = float3(0.0, 0.0, 0.0);
5. [unroll]
6. for (uint i = 0; i < SAMPLECOUNT; i++)
7. {
8.     const float3 randDir = randomDirection[i] * sign(dot(dir, randomDirection[i]));
10.     const float3 radiance = envCube.SampleLevel(linearClampSampler, randDir, 0.0).rgb;
12.     result += radiance * saturate(dot(dir, randDir)) / directionImportance[i];
13. }
14.         
15. result = 1.0 / float(SAMPLECOUNT) * result;

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