笛卡尔积

 前面我们已经定义了两个集合的笛卡尔积\(A\times B\)。现介绍更为一般的笛卡尔积。
 定义 设\(\mathcal{A}\)是一个非空集族。\(\mathcal{A}\)的指标函数（indexing function）是从某一个集合\(J\)到\(\mathcal{A}\)的一个满射\(f\)，其中\(J\)称为指标集（index set），族\(\mathcal{A}\)连同指标函数\(f\)一起称为一个集的加标族（indexed family of sets）或加标集族（indexed family of sets）。给定\(\alpha \in J\)，集合\(f(\alpha)\)记成符号\(A_{\alpha}\)。这个加标集族本身记作

\[\{A_{\alpha}\}_{\alpha\in J}\]
读作“\(\alpha\)取遍\(J\)时，所有\(A_{\alpha}\)的族”。当指标集自明时，则简单地记为\(\{A_{\alpha}\}\)。
 注意，虽然要求指标函数为满射，但它不一定要是单射，甚至对于所有\(\alpha\ne\beta\)，\(A_{\alpha}\)与\(A_{\beta}\)是\(\mathcal{A}\)中的同一个集合也是完全可以的。
 指标函数的引入，将我们原本只用自然数进行标记的方式进行了推广，使得我们可以用任何集合进行标记，只要确定好指标函数。这时，我们便能以新的方式定义集合的任意并和任意交。设\(f:J\rightarrow \mathcal{A}\)是\(\mathcal{A}\)的一个指标函数，并且用\(A_{\alpha}\)表示\(f(\alpha)\)，则定义

\[\bigcup_{\alpha\in J}A_{\alpha}=\{x|\text{存在}\alpha\in J,x\in A_{\alpha}\}\]
以及

\[\bigcap_{\alpha\in J}A_{\alpha}=\{x|\text{对于任意}\alpha\in J,x\in A_{\alpha}\}\]
 这就是上面定义概念的新的简单记号，（由于指标函数是满射）易见，第一个式子是\(\mathcal{A}\)中所有元素的并，第二个式子是\(\mathcal{A}\)中所有元素的交。
 若我们引入\(\{1,\cdots,n\}\)或\(\mathbb{Z}_+\)作为指标集，则上述定义变为我们熟悉的形式：

\[A_1\cup\cdots\cup A_n\text{ 和 }A_1\cap\cdots\cap A_n\]
以及

\[A_1\cup A_2\cup \cdots\text{ 和 }A_1\cap A_2\cap \cdots\]
 定义 设\(m\)是一个正整数，对于给定的集合\(X\)，\(X\)中每一个元素的一个\(\bm{m}\)-串（\(m\)-tuple）定义为函数

\[\bm{x}:\{1,\cdots,m\}\longrightarrow X\]
若\(\bm{x}\)是一个\(m\)-串，则往往把\(\bm{x}\)在\(i\)处的值写成符号\(x_i\)而不记成\(\bm{x}(i)\)，并称之为\(\bm{x}\)的第\(i\)个坐标（coordinate），函数\(\bm{x}\)本身用符号

\[(x_1,\cdots,x_m)\]
表示。
 现在设\(\{A_1,\cdots,A_m\}\)是一个以\(\{1,\cdots,m\}\)为指标集的加标集族，令\(X=A_1\cup\cdots A_m\)。这个加标族的笛卡尔积（Cartesian product）记作

\[\prod_{i=1}^m A_i\text{ 或者 }A_1\times\cdots\times A_m\]
定义为\(X\)中元素的所有\(m\)-串\((x_1,\cdots,x_m)\)的集合，使得对于每一个\(i\)有\(x_i\in A_i\)。
 定义 给定一个集合\(X\)，定义\(X\)中元素的\(\bm{\omega}\)-串为函数

\[\bm{x}:\mathbb{Z}_+\longrightarrow X\]
这种函数也称为\(X\)中元素的一个序列（sequence）或一个无穷序列（infinite sequence）。若\(\bm{x}\)是一个\(\omega\)-串，则往往把\(\bm{x}\)在\(i\)处的值写成\(x_i\)而不写成\(\bm{x}(i)\)，并称之为\(\bm{x}\)的第\(i\)个坐标（coordinate），\(\bm{x}\)本身用符号

\[(x_1,x_2,\cdots)\text{ 或者 }(x_n)_{n\in\mathbb{Z}_+}\]
表示。设\(\{A_1,A_2,\cdots\}\)是以\(\mathbb{Z}_+\)作为指标集的一个加标集族，\(X\)为这个集族中所有集合之并。这个加标集族的笛卡尔积（Cartesian product）记成

\[\prod_{i\in\mathbb{Z}_+}A_i\text{ 或者 }A_1\times A_2\times\cdots\]
定义为\(X\)中元素的所有\(\omega\)-串\((x_1,x_2,\cdots)\)的集合，使得对于每一个\(i\)，\(x_i\in A_i\)。
 上述定义中，并不要求\(A_i\)两两不同。事实上，它们可以取同一个集合\(X\)。对于这种情况，笛卡尔积\(A_1\times\cdots\times A_m\)恰为\(X\)的所有\(m\)-串的集合，记作\(X^m\)。类似地，笛卡尔积\(A_1\times A_2\times\cdots\)恰为\(X\)中元素的所有\(\omega\)-串的集合，记作\(X^{\omega}\)。
 后面我们还将对任意加标集族定义笛卡尔积。

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