第二章：余子式，代数余子式及拉普拉斯展开

子矩阵

设 \([n]=\{1, 2, ......, n\}\)，设 \(r\subseteq [n], c\subseteq [m]\)，则定义子矩阵 \(A_{r, c}\) 是只保留 \(A_{ij}(i\in r, j\in c)\) 的元素形成的矩阵。
余子式和代数余子式

对于 \(n\) 阶方阵 \(A\)，定义它的余子式 \(M_{ij}=\det(A_{[n]/\{i\},[n]/\{j\}})\)，定义它的代数余子式 \(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)。
我们有拉普拉斯展开定理：

\[det(A)=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij}\text{对}\forall i\in[n]\text{成立}\]

\[det(A)=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij}\text{对}\forall j\in[n]\text{成立}\]
为了证明这个定理，只需证明 \(\underset{\sigma\in S_n\text{并且}\sigma(i)=k}{\sum}\text{sgn}(\sigma)\prod_{j=1}^na_{j\sigma(j)}=a_{ik}A_{ik}\)，就能将 \(n\) 个这样的式子累加得到原式。
事实上，只需要证明 \(i=k=n\) 时上式成立即可，这是因为当 \(i\) 减少 \(1\) 时，考虑使用交换第 \(i\) 和第 \(i-1\) 行，那么 \((-1)^{i+k}\) 会变号，所以右式会变号。左式因为 \(\sigma\) 被乘上了一个对换，所以也会变号。故左式依然等于右式子。对于 \(k\) 同理。
为了证明上式，发现左式是 \(\underset{\sigma\in S_n\text{并且}\sigma(n)=n}{\sum}\text{sgn}(\sigma)\prod_{j=1}^na_{j\sigma(j)}=a_{nn}\underset{\sigma\in S_{n-1}}{\sum}\text{sgn}(\sigma)\prod_{j=1}^{n-1}a_{j\sigma(j)}=a_{nn}A_{nn}\)。证毕。
示例

计算以下 \(3×3\) 行列式：

\[\det(A) = \begin{vmatrix}1 & 0 & 2 \\3 & 1 & 0 \\-1 & 2 & 1 \\\end{vmatrix}\]
按第一行展开（因含一个零元素）：

\[\det(A) = 1 \cdot (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + 0 \cdot (\text{忽略}) + 2 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix}\]
计算余子式：

\[= 1 \cdot (1 \cdot 1 - 0 \cdot 2) + 2 \cdot (3 \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) = 1 + 2 \times 7 = 15\]
习题

一.设 \(n\times n\) 的方阵 \(A\) 满足 \((A)_{ij}=0\) 对一切 \(i>j\) 成立，求证 \(|A|=\prod_{i=1}^n(A)_{ii}\)。(使用拉普拉斯展开定理)
二.设 \(n\times n\) 的方阵 \(F_n\) 满足 \((F_n)_{ij}=1\) 对一切 \(|i-j|\leq 1\) 成立并且 \((F_n)_{ij}=0\) 对一切 \(|i-j|>1\) 成立。证明 \(\det(F_n)=\det(F_{n-1})+\det(F_{n-2})(n\geq 3)\)。

三.设 \(x_1, x_2, ......, x_n\in \mathbb{R}\)，方阵 \(A\) 满足 \((A)_{ij}=x_i^{j-1}\)，证明 \(\det(A)=\underset{1\leq i