manim边做边学--参数化曲线

在数学可视化领域，参数方程提供了一种灵活描述曲线的方式。
Manim库中的ParametricFunction类正是为此而生，它允许用户通过参数方程创建各种复杂的二维和三维曲线。
ParametricFunction的核心作用是将数学参数方程转换为可视化的曲线。与普通函数不同，参数方程使用独立参数t表示曲线上点的坐标：

1. x = f(t)
2. y = g(t)
3. z = h(t)

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其典型应用场景包括：

• 绘制无法用$ y=f(x) $显式表示的曲线（如圆、椭圆）
  
• 创建随时间变化的动态轨迹
  
• 可视化三维空间曲线（如螺旋线）
  
• 实现复杂的几何图案（如心形线、星形线）
  

本文将详细介绍ParametricFunction的作用、主要参数和方法，并通过动画示例来展示其强大的功能。
1. 主要参数

ParametricFunction主要参数有：
参数类型说明默认值functionCallable参数方程函数，接收t返回[x,y,z]必填t_rangeSequence[float]参数范围[start, end, step][0,1,0.1]dtfloat计算导数的微小增量0.01use_smoothingbool是否使用平滑算法Truediscontinuitieslist[float]函数不连续点列表Nonecolor颜色常量曲线颜色WHITEstroke_widthfloat线宽2.0其中function参数是一个可调用的函数，形式为(lambda t: (x(t), y(t), z(t)))。
它定义了曲线的参数化形式，t是参数，x(t)、y(t)和z(t)分别是x、y和z坐标随参数t的变化函数。
2. 主要方法

ParametricFunction主要方法包括：
名称说明get_point_from_function获取参数t对应的曲线点坐标get_function返回参数方程函数get_t_range返回参数范围3. 使用示例

下面通过几个典型的例子来演示如何使用ParametricFunction类。
3.1. 三维螺旋线

这个示例通过引入z轴参数，我们创建了一个优美的三维螺旋结构，展示ParametricFunction处理3D曲线的能力。

1. self.set_camera_orientation(phi=80 * DEGREES, theta=-60 * DEGREES)
3. curve = ParametricFunction(
4.     lambda u: (1.2 * np.cos(u), 1.2 * np.sin(u), u * 0.05),
5.     color=RED,
6.     t_range=(-3 * TAU, 5 * TAU, 0.01),
7. ).set_shade_in_3d(True)
8. axes = ThreeDAxes(x_length=6, y_length=5, z_length=4)
9. self.add(axes, curve)
10. self.play(Create(curve))

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3.2. 处理不连续函数

这个示例展示了如何处理不连续函数。
通过指定discontinuities参数，可以正确地绘制不连续函数的图形，这对于展示数学函数的不连续点非常有用。

1. # 定义不连续函数
2. def discontinuous_func(t):
3.     if t in [-2, 2]:
4.         return (t, 0, 0)  # 在不连续点返回一个默认值
5.     return (t, (t**2 - 2) / (t**2 - 4), 0)
7. # 创建 ParametricFunction 对象
8. func = (
9.     ParametricFunction(
10.         discontinuous_func,
11.         t_range=(-3, 3),
12.         discontinuities=[-2, 2],  # 指定不连续点
13.         dt=0.1,  # 不连续点的容差
14.         color=GREEN,
15.     )
16.     .scale(0.5)
17.     .shift(DOWN)
18. )
20. # 添加到场景中
21. self.play(Create(func))

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3.3. 跳动的心形线

这个浪漫的示例展示了如何创建复杂的心形图案，并通过缩放动画赋予其"跳动"效果。

1. # 心形线参数方程
2. heart = (
3.     ParametricFunction(
4.         lambda t: np.array(
5.             [
6.                 16 * np.sin(t) ** 3,
7.                 13 * np.cos(t)
8.                 - 5 * np.cos(2 * t)
9.                 - 2 * np.cos(3 * t)
10.                 - np.cos(4 * t),
11.                 0,
12.             ]
13.         ),
14.         t_range=[0, TAU, 0.01],
15.         color=PINK,
16.     )
17.     .scale(0.1)
18.     .shift(UP * 2)
19. )
21. self.play(Create(heart, run_time=2))
22. self.play(heart.animate.scale(1.2), rate_func=there_and_back)
23. self.play(heart.animate.scale(1.5), rate_func=there_and_back)
24. self.play(heart.animate.scale(1.2), rate_func=there_and_back)

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4. 附件

文中的代码只是关键部分的截取，完整的代码共享在网盘中（parametric_function.py），
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