多重二次根式的化简

复习：单层二次根式的化简

化简：

\[\sqrt {54188a^{114514}b^{45}}\]

这种题目已经是基本操作了。解析如下：

\[解：原式=\sqrt {2^2\cdot 13547\cdot (a^{57257})^2\cdot (b^{24})^2\cdot b}\]

\[=2a^{57257}b^{24}\sqrt {13547b}\]

任意的单层二次根式，都可以通过这种方式化简而来。
多重二次根式

引入

化简：

\[\sqrt {4-2\sqrt 3}\]

这是什么根式套根式的玩意儿啊！怎么化简呢？
我们注意到，要想化简一个双层根式，至少应该先把一层根号去掉。
那你觉得\(\sqrt 3\)更好去根号，还是\(\sqrt {4-2\sqrt 3}\)更好去根号呢？
当然是希望去掉外层根号。
那么，在我们现在已学的公式中，有什么东西能把一个根号去掉呢？

\[\sqrt {a^2}=|a|\]

\[(\sqrt a)^2=a\{a>0\}\]
请从这两个公式上思考一下。
显然，把内部的\(4-2\sqrt 3\)化成某个根式的平方即可。完全平方公式是最好的选择。
恰好\(2\sqrt 3\)可以看做公式中的\(2ab\)。于是，我们希望找到两个式子\(a\)、\(b\)，使得\(ab=\sqrt 3\)，且要满足\(a^2+b^2=4\)。
你看着，\(ab\)都出现根号了，那\(a\)、\(b\)能不是根式吗？
因此，目标转化为：

求两个整数\(a\)、\(b\)，使得\(\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt {ab}=\sqrt 3\)即\(ab=3\)，且\((\sqrt a)^2+(\sqrt b)^2=a+b=4\)。

挨个试一试也出来了，\(a=1\)，\(b=3\)。最终，原式

\[=\sqrt {(\sqrt 1)^2-2\sqrt {1\cdot 3}+(\sqrt 3)^2}\]

\[=\sqrt {(\sqrt 1+\sqrt 3)^2}\]

\[=1+\sqrt 3\]
好神奇呀。
化简方法：完全平方公式

如引入中所示。
下面拓展一些变式。

出题人看到了一个题目。
化简：

\[\sqrt {8-2\sqrt {12}}\]

你会做吗？当然会做啊，原式

\[=\sqrt {2+2\sqrt{2\cdot 6}+6}\]

\[=\sqrt {(\sqrt 2+\sqrt 6)^2}\]

\[=\sqrt 2+\sqrt 6\]

出题人：太简单了太简单了，不符合我哈基米的气质。我来改一改。
化简：

\[\sqrt {8-4\sqrt 3}\]

刚刚会做，难道现在不会做了吗？原式

\[=\sqrt {8-2\sqrt {12}}=\sqrt 2+\sqrt 6\]
变式\(1\)：把后面的根式化到最简，故意让你看不出来。
对策\(1\)：只要看见\(a+b\sqrt c\)的形式，尝试把\(b\)化成\(2\)。

出题人：可恶，这次得分率还是那么高。我再来改改。
化简：

\[\sqrt {2-\sqrt 3}\]

这下彻底炸了，\(b\)直接消失，还怎么化成\(2\)？
你忘了。\(b\)其实是\(1\)，被隐藏了。原式

\[=\sqrt {\frac {4-2\sqrt 3} 2}\]

\[=\sqrt {\frac {(1-\sqrt 3)^2} 2}\]

\[=\frac {1-\sqrt 3} {\sqrt 2}\]
最后再来一个分母有理化。

\[=\frac {\sqrt 2-\sqrt 6} 2\]
变式\(2\)：把外层根式除个\(d\)，正好把\(b\)隐藏。
对策\(2\)：看不见\(b\)，立刻外层乘个\(2\)，分子常规化，分母有理化。
二次根式题目汇编

$1. $

已知非负实数\(a\)、\(b\)、\(c\)满足\(a+b+c=8\)。求\(\sqrt {a^2+1}+\sqrt {b^2+4}+\sqrt {c^2+9}\)的最小值。

数形结合万事休。

\[\sqrt {a^2+1}+\sqrt {b^2+4}+\sqrt {c^2+9}\geq \sqrt {6^2+8^2}=10\]

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